并查集

     并查集是一种简单的用途广泛的集合。并查集是若干个不相交集合，能够实现较快的合并和判断元素所在集合的操作。应用很多，如其求无向图的连通分量个数等。最完美的应用当属：实现Kruskar算法求最小生成树。并查集的精髓在于三个操作：初始化，查找，合并。

1.三个操作

  (1)初始化Make_Set()

   初始化后每一个元素的父亲节点是它本身，每一个元素的祖先节点也是它本身(也可以根据情况而变)。

  (2)查找Find_Set(x)

   查找一个元素所在的集合，其精髓是找到这个元素所在集合的祖先！这个才是并查集判断和合并的最终依据。判断两个元素是否属于同一集合，只要看他们所在集合的祖先是否相同即可。合并两个集合，也是使一个集合的祖先成为另一个集合的祖先。

  (3)Union(x,y)

  合并两个不相交集合操作很简单，利用Find_Set找到其中两个集合的祖先，将一个集合的祖先指向另一个集合的祖先。

2.并查集的优化

  (1)Find_Set(x)时 路径压缩

   寻找祖先时我们一般采用递归查找，但是当元素很多亦或是整棵树变为一条链时，每次Find_Set(x)都是O(n)的复杂度，有没有办法减小这个复杂度呢？答案是肯定的，这就是路径压缩，即当我们经过"递推"找到祖先节点后，"回溯"的时候顺便将它的子孙节点都直接指向祖先，这样以后再次Find_Set(x)时复杂度就变成O(1)了，如下图所示；可见，路径压缩方便了以后的查找。

 (2)Union(x,y)时按秩合并

即合并的时候将元素少的集合合并到元素多的集合中，这样合并之后树的高度会相对较小。

 

简易版本

int bin[50001];void set()       //初始化，使每个节点的祖先节点都是它本身{    int i;    for(i=0;i<50001;i++)            {            bin[i]=i;            }    }int find(int x)    //查找x的祖先节点{    int r=x;    while(r!=bin[r])        r=bin[r];    return r;    }void merge(int x,int y)   //合并x和y{    int fx,fy;    fx=find(x);    fy=find(y);    if(fx!=fy)        bin[fx]=fy;    }

优化版本

int father[MAX];   //father[x]表示x的父节点int rank[MAX];    //rank[x]表示x的秩void Make_Set(int x)  //初始化集合{    int i;    for(i=0;i
      
        rank[y])   //如果x的秩大于y的秩    {        father[y] = x;      //y指向x    }    else    {        if (rank[x] == rank[y])        {            rank[y]++;        }        father[x] = y;    }}